Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

Sabtu, 09 Februari 2013

MIND MAPPING *** 1 buku = 1 kertas***


Belajar mengenal MIND MAP, mungkin ada yang sudah familiar dengan MIND MAP namun mungkin juga ada yang belum pernah dengar sama sekali,hehehehe

Sejak pertama kali berkenalan dengan MIND MAP kelas XI SMA dulu, eeehhhh ternyata aku mulai jatuh hati ni dengan ciptaan Bapak MIND MAP Tony Buzan pada tahun 1970an.

Kebayang ga seh jika kita mau ujian ni, dan harus menghapal semua rumus dalam waktu singkat dengan membaca 1 buku????

Hhhmmmm mungkin itu ya yang bisa membuat anak sekolah frustasi menghadapai ujian nasional,hehehehe

MIND MAP itu sederhana, ga butuh banyak biaya yang diperluakan, cukup 1 lembar kertas kosong ukuran A4, pensil dan crayon dengan bemodal kreatifitas kamu sudah bisa membuat peta pikiran kamu sendiri.

Satu bab pelajaran dapat kamu tulis dalam 1 lemba kertas ukuan A4, jadi ga perlu-perlu lagi kan membaca satu buku dan menghapalnya semalaman bwt ujian besok.....

Bentuk MIND MAP bermacam-macam dan selali cantik karena mengandung banyak warna dan ikon gambar yang menarik perhatian

Kelebihan MIND MAP atau peta pikiran adalah bisa dipajang dimana aja kamu suka, ga mungkin kan bila kamu memajang semua lembaran buku di dinding kamar mu,heheheh

Coba perhatikan sangat menarik bukan???? MIND MAP sendiri bisa kamu bikin manual menggunakan pensil dan crayon dan bisa juga menggunakan komputer dengan mengunduh aplikasi dari situs resminya Bapak Tony Buzan klik disini untuk lihat aplikasinya
MIND MAP cocok untuk bidang apa saja, namun penggunaannya dalam bidang pendidikan masih kurang diminati padahal manfaatnya luar biasa. oleh sebab itu juga aku sedang melakukan penelitian pembelajarn menggunakan MIND MAP ini sekaligus memperkenalkannya dibidang pendidikan.

Hanya perlu mencoba dan berkreasiiiiiiiiiiiiiiii
»»  READMORE...

Jumat, 14 Desember 2012

NOL !!!! Genap Atau Ganjil????










Sewaktu saya mengajar di SMP Nusantara Palangka Raya, pada meteri bilangan bulat. Pada saat itu ada siswa yang menanyakan kepada saya apakah nol ter masuk bilangan genap atau ganjil yaaa???

Itu merupakan pertanyaan yang bagus bangetttt, kalo boleh jujur sihhh saya ga nyangka mendapat pertanyaan seperti itu,hehehehe

Saya menjawab dengan singkat aja, tetapi tetap mengacu pada definisinya.

Kita tau bahwa yang dimaksud bilangan genap adalah bilangan bulat yang habis dibagi 2, jika tidak maka disebut bilangan ganjil.  Dengan kata lain bilangan bulat n disebut genap jika ada bilangan bulat x dimana n=2x.

Dari definisi diatas maka jelas, 0=2•0 jadi nol adalah genap.

setelah panjang dan lebar saya jelaskan, anak-anak bilang nya gini...
oooooooohhhhhhh, gitu yaaaa buuuu, ckckckck
»»  READMORE...

Rabu, 12 Desember 2012

1/0 tak hingga atau tak terdefinisi?


1/0 tak hingga atau tak terdefinisi?

Saya rasa banyak orang yang masih bingung, masih rancu apakah 1/0 tak hingga atau tak terdefinsi.

Jika SATU apel diberikan kepada NOL anak, setiap anak dapat berapa apel?

Apakah mungkin tiap anak mendapatkan tak hingga banyaknya apel? Lha wong anaknya aja gak ada. Nah..sekarang jelaskan berapa 1/0.

Berati yang berkata 1/0=∞ salah?


Err..sebenarnya tidak salah juga sich. Jika kita belajar matematika lebih lanjut, tepatnya analisis kompleks ada yang namanya bidang kompleks perluasan (Extended Complex Plane) atau disebut juga Riemann sphere (yaitu \mathbb{\hat{C}}=\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\}, himpunan bilangan kompleks digabung tak hingga). Didalam Riemann sphere, 1/0=∞. Tentu saja ada penjelasan matematis kenapa 1/0=∞ didalam Riemann sphere.

Jadi mana yang benar, 1/0 tak terdefinisi atau tak hingga?

Sebenarnya dalam matematika, berapa 1/0 tergantung bagaimana kita mengartikan/mendefinisikan 1, 0 dan /. Jika kita mengartikan 1 dan 0 sebagai bilangan yang kita gunakan sehari-hari (baca: bilangan real) serta / sebagai pembagian maka jelas 1/0 tak terdefinisi. Akan tetapi jika 1 dan 0 bukan bilangan real maka belum tentu 1/0 tak terdefinisi.   Hasil 1/0 tergantung sistem bilangan mana yang dipakai. Tentu saja jika ada orang (awam) bertanya berapa 1/0, sistem bilangan yang digunakan pastilah sistem bilangan real. Meskipun 1/0 tidak terdefinsi dalam sistem bilangan real akan tetapi jika suatu bilangan real x mendekati nol maka nilai 1/x akan sangat besar. Bisa kita tulis \lim_{x\rightarrow0}1/x=\infty. Nah saya rasa pula banyak orang yang beranggapan \lim_{x\rightarrow0}1/x sama dengan 1/0. Oleh karena itu banyak orang yang beranggapan \lim_{x\rightarrow0}1/x=1/0=\infty . Tidak, tidak \lim_{x\rightarrow0}1/x dan 1/0 adalah 2 hal yang sangat-sangat berbeda. Oya satu hal yang perlu saya ingatkan tak hingga ∞ bukan lah bilangan real.


 sumber
»»  READMORE...

Apa itu bilangan Tak tersentuh?

Ada namanya Bilangan Tak tersentuh (untouchable number). Saya yakin kalian belum pernah mendengarnya

Apa itu bilangan Tak tersentuh?

Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang bukan merupakan hasil penjumlahan semua pembagi sejati (proper divisor) dari sebarang bilangan asli. Dengan kata lain Bilangan tak tersentuh adalah bilangan asli n yang tidak mempunyai bilangan asli m sedemikian hingga

\left(\sum_{a|m}a\right)-m=n

Jadi bilangan tak tesentuh adalah bilangan yang tidak dapat “disentuh” oleh penjumlahan pembagi sejati dari sebarang bilangan.
Sebagai contoh, 5 adalah bilangan tak tersentuh karena 5=1+4 adalah satu-satunya cara menuliskan 5 sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan asli yang berbeda dan memuat 1. Jika 4 membagi suatu bilangan maka 2 juga, jadi 4+1 bukanlah penjumlahan pembagi-pembagi sejati dari suatu bilangan (karena jika 4 pembagi sejati maka 2 juga). Sedangkan 4 bukanlah bilangan tak tersentuh karena merupakan penjumlahan semua pembagi asli dari 9 (pembagai asli dari 9 adalah 1 dan 3).
Jelas tidak  ada bilangan sempurna yang menjadi bilangan  tak tersentuh. Tidak ada bilangan tak tersentuh yang berbentuk p+1 dengan p bilangan prima karena pembagai asli dari p2 adalah 1 dan p. Begitu pula tidak ada bilangan tak tersentuh yang berbentuk p+2+1 karena 2p mempunyai pembagi sejati 1, 2 dan p.
Beberapa bilangan tak tersentuh yang pertama.

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, …

Paul ErdÅ‘s membuktikan bawa ada tak hingga banyaknya bilangan tak tersentuh. Konsep bilangan tak tesentuh menyisakan 1 persoalan yang sampai detik ini belum mampu dijawab oleh para Matematikawan
Apakah 5 satu-satunya bilangan tak tersentuh ganjil?
»»  READMORE...

1 = 2 !!!!!! Hhmmm ????

 Ada beberapa operasi di matematika yang melibatkan bilangan-bilangan tertentu memberikan hasil yang tidak dapat didefinisikan. Hal ini dilakukan agar tidak terjadi ketidak-konsistenan di dalam matematika. Coba perhatikan ini:

0 = 0
cukup jelas
(1) a^2 - a^2 = a^2 - a^2
bolehkan karena a^2 – a^2 = 0 (tanda ^ dibaca pangkat)
(2) a (aa) = (a + a) (aa)
ingat pemfaktoran dan identitas a^2 - b^2 = [a + b] [ab]
(3) a = a + a
karena kedua ruas punya faktor (aa) maka
dapat dicoret atau dihilangkan dari keduanya.
(4) a = 2a


(5) 1 = 2

karena kedua ruas punya faktor a
maka dicoret atau dihilangkan dari keduanya.

Nah, lho..... ko 1 = 2? Aneh kan. Terjadinya penyimpangan pada hasil dikarenakan pada langkah-langkah di atas terdapat operasi yang menyimpang. Apakah itu? Pada langkah ke berapa? Silahkan pembaca berusaha menemukannya sendiri terlebih dulu
»»  READMORE...

Sabtu, 01 Desember 2012

Pintar Matematika???? Setrum kepala Anda!!! WoooW





Disetrum??? Wow..kedengerannya extrim banget yaa. Ini sudah diteliti lo.. Buat lebih jelasnya,disimak ya..

Ternyata dengan mengalirkan sedikit arus listrik ke otak selama 15 menit, kemampuan orang dalam matematika bisa meningkat. Para ilmuwan di University of Oxford, Inggris, sudah berhasil melakukan itu dan membuat kemampuan matematika seseorang bertahan selama 6 bulan.
Para ilmuwan menggunakan teknik stimulasi menggunakan arus listrik yang disalurkan langsung lewat tempurung untuk mengalirkan listrik ke bagian otak yang biasa digunakan untuk memproses angka (parietal lobe).
Partisipan diminta untuk mempelajari simbol-simbol yang mewakili angka. Kemudian, selama mereka menerima arus listrik, mereka diminta mengorganisasi angka-angka tersebut. Partisipan yang diberi stimulasi memiliki kemampuan yang lebih baik dalam menyelesaikan tugas ketimbang partisipan tanpa stimulasi. Hebatnya, ketika uji coba dilakukan 6 bulan kemudian, kemampuan itu masih ada.
Para ilmuwan mengaku akan melakukan penelitian lagi. “Penelitian berikutnya akan melibatkan orang-orang yang lemah dalam bidang matematika,” jelas ilmuwan dari University of Oxford. Mereka juga mengaku penelitian ini akan membantu 20 persen orang yang memiliki kemampuan matematika di bawah rata-rata dan mungkin pula dapat diterapkan di bidang selain matematika.
Anda ingin pintar,,,, mari qta mencoba bersama sama ….. hehehe
»»  READMORE...

Berhitung Cepat

1. Perkalian 9, 99, atau 999

Mengalikan dengan 9 sebenarnya adalah mengalikan dengan 10-1.

Jadi, 9×9 sama saja dengan 9 x (10-1) = 9×10-9 = 90-9 = 81.

Ayo coba contoh yang lebih sulit:

46×9 = 46× (10-1) = 460-46 = 414.

Satu contoh lagi:

68×9 = 680-68 = 612.

Untuk perkalian 99, artinya kita mengalikan dengan 100-1.

Jadi, 46×99 = 46 x (100-1) = 4600-46 = 4554.

Kalo udah gitu, kalian semua pasti tahu bahwa perkalian 999 sama dengan perkalian 1000-1

38×999 = 38 x (1000-1) = 38000-38 = 37962.


Masih bisa ngikuti? ayo kita lanjut


2. Perkalian 11


Perkalian 11 artinya kita menjumlahkan sepasang angka, kecuali bagi angka yang ada di bagian ujung


Lebih jelasnya gw jelasin di bawah ini :


untuk perkalian 436 dengan 11 mulailah dari kanan ke kiri (selalu dari kanan ke kiri ya)

Pertama tulis 6 lalu jumlahkan 6 dengan angka di sebelahnya yaitu 3 sehingga didapatkan angka 9

Tuliskan 9 disebelah kiri 6.

Lalu jumlahkan 3 dengan 4 untuk mendapat angka 7. Tuliskan angka 7.

Terakhir tuliskan angka yang paling kiri yaitu 4.

Jadi, 436×11 = 4796.

Ayo kita buat contoh yang lebih sulit: 3254×11.

(3)(3+2)(2+5)(5+4)(4) = 35794.

Ingat selalu mulai dari kanan ke kiri yak!

Sekarang contoh yang lebih sulit lagi: 4657×11.


(4)(4+6)(6+5)(5+7)(7).

Mulai dari kanan tuliskan angka 7.

Lalu 5+7=12.

Tuliskan 2 dan simpan angka 1.

6+5 = 11, tambah 1 yang tadi kita simpan = 12.

Sekali lagi tuliskan 2 dan simpan 1.

4+6 = 10, tambah 1 yang tadi kita simpan = 11.

So, tuliskan 1 dan simpan 1.

Terakhir angka paling kiri, 4, tambahkan dengan 1 yang tadi kita simpan.

Jadilah, 4657×11 = 51227 .

Hehehe, mantepkan? ini masih ga terlalu sulit...ayo jalan lagi


3. Perkalian 5, 25, or 125


Perkalian dengan 5 sama saja mengalikan dengan 10 lalu di bagi 2, CATATAN : Untuk perkalian dengan 10 cukup tambahkan 0 di dibagian belakang angka


Contoh : 1000 x 5 = 5000


Lagi, 12×5 = (12×10)/2 = 120/2 = 60.

Contoh yang lain:

64×5 = 640/2 = 320.

Juga, 4286×5 = 42860/2 = 21430.

Untuk perkalian 25, sama saja kita kalikan dengan 100 (tambahkan dua angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 4. CATATAN : Untuk pembagian dengan 4, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak dua kali

64×25 = 6400/4 = 3200/2 = 1600.

58×25 = 5800/4 = 2900/2 = 1450.

Untuk perkalian 125, sama saja kita kalikan dengan 1000 (tambahkan tiga angka 0 di bagian belakang) kemudian di bagi dengan 8. CATATAN : Untuk pembagian dengan 8, kita bisa juga membagi dengan 2 sebanyak tiga kali

32×125 = 32000/8 = 16000/4 = 8000/2 = 4000.

48×125 = 48000/8 = 24000/4 = 12000/2 = 6000.


Mudah kan? hehehe melangkah lagi!


4. Mengalikan dua bilangan yang mempunyai selisih 2, 4, atau 6



Untuk perkalian seperti ini gw langsung kasi contoh ya


Ambil contoh : 12×14. (14 - 12 = 2...jadi metode ini bisa dipakai)

Pertama kita cari angka tengah antara 12 dan 14...So,

12

13

14

(artinya 13 adalah angka tengah), berikutnya kita tinggal membuat perkalian 13 x 13 lalu di kurangi 1...

12×14 = (13×13)-1 = 168.

16×18 = (17×17)-1 = 288.

99×101 = (100×100)-1 = 10000-1 = 9999

Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 4, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 4,
Ok ini contohnya :


11×15 = (13×13)-4 = 169-4 = 165.

13×17 = (15×15)-4 = 225-4 = 221.

Jika selisih dua bilangan tersebut adalah 6, sama seperti tadi kita cari angka tengahnya...buat pemangkatan, lalu kurangi dengan 9,
Ok ini contohnya :


12×18 = (15×15)-9 = 216.

17×23 = (20×20)-9 = 391.


Hehehe...trik ini bisa di pakai bukan hanya untuk belasan tapi bisa sampai ribuan...

Masih ada trik lagi....ntar gw sambung...
Tengkyu all

Naaah sudah makan...sudah kenyang...sekarang kita sambung lagi pelajaran kita....hehehehehe

5. Pemangkatan bilangan puluhan yang berakhiran 5



Untuk yang ini bener2 gampang kok..


Contoh kita mau ngitung berapakah 35 x 35


Kita tinggal mengalikan 3 x 4 = 12 (angka 4 di dapat dari 3 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 35 x 35 = 1225


Mudahkan?
Contoh lagi : 65 x 65
Kalikan 6 x 7 = 42 (angka 7 di dapat dari 6 tambah 1)
Kemudian 5 x 5 = 25
Jadi 65 x 65 = 4225


Dari situ kita tahu bahwa pemangkatan bilangan puluhan berakhiran 5 pasti angka belakangnya 25


So 85 x 85 = 7225 (tahukan dari mana dapetinnya?)



6. Perkalian puluhan dimana digit pertama adalah sama dan jumlah digit kedua adalah 10


Contohnya kita ingin mengalikan 42 x 48...
Disini terlihat bahwa digit pertama puluhan di atas adalah sama yaitu 4
sedangkan jumlah dari digit kedua adalah 2 + 8 = 10


Cara cepatnya sederhana saja :
Kita kalikan 4 dengan 4+1 Jadi gini hasilnya 4 x (4+1) = 4 x 5 = 20
Tuliskan angka 20


Lanjut lagi kalikan 2 dengan 8 Jadi gini hasilnya 2 x 8 = 16
Tuliskan angka 16


Jadilah 42 x 48 = 2016


Gampang kan? contoh lagi
64 x 66


Kita buat
6 x (6+1) = 6 x 7 = 42
6 x 4 = 24
Hasilnya
64 x 66 = 4224


Masih bingung?
Contoh lagi :
83 x 87


Rumusnya
8 x (8+1) = 8 x 9 = 72
3 x 7 = 21
Hasilnya
83 x 87 = 7221



Ok bro and sis? hehehehe ajarkan ini ke putra putri anda
Nah untuk yang berikut ini agak sedikit rumit...tapi kalo disimak bisa kok bro


7. Pemangkatan Puluhan
Ini perlu sedikit konsentrasi


Ambil contoh kita ingin melakukan pemangkatan 58 alias 58 x 58


Langkah 1 :
Kalikan 5 dengan 5, 5 x 5 = 25
Kalikan 8 dengan 8, 8 x 8 = 64
Tuliskan ke dua hasil tadi dan jadilah 2564


Langkah 2 :
Kalikan 5 dengan 8 = 40
Gandakan hasil tersebut, 40 x 2 = 80
Tambahkan 1 angka 0, jadilah 800


Langkah 3 :
Jumlahkan 2564 dengan 800, 2564 + 800 = 3364
Itulah hasilnya



58 x 58 = 3364


Hehehe....masih bingung?
yuk contoh lagi yuk


32 x 32


Langkah 1 :
3 x 3 = 9 ----> tapi tuliskan 09 ya supaya 2 digit bisa tercipta
2 x 4 = 4 ----> tapi tuliskan 04 ya supaya 2 digit bisa tercipta
Kedua hasil di tulis menjai 0904


Langkah 2 :
3 x 2 = 6 GANDAKAN 6 x 2 = 12
Tambahkan satu 0 dibelakangnya dan jadilah 120


Langkah 3 :
120 + 0904 ----> artinya 120 + 904 = 1024
Itulah hasilnya


32 x 32 = 1024


Kerennnnnn kan?
Mau coba lagi?
Boleh!!!!


67 x 67


6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
3649


6 x 7 x 2 = 84 tambah satu 0 jadi 840


3649 + 840 = 4489


Sehingga 67 x 67 = 4489

»»  READMORE...

Rabu, 28 November 2012

♥♥♥ Differensial Cinta ♥♥♥

Saat aku bersua dengan eksponen jiwamu,
Sinus kosinus hatiku bergetar
Membelah rasa
Diagonal-diagonal ruang hatiku
Bersentuhan dengan diagonal-diagonal bidang hatiku
Jika aku adalah akar-akar persamaan x1 dan x2
Maka engkaulah persamaan dengan akar-akar 2×1 dan 2×2
Aku ini binatang jalang
Dari himpunan yang kosong
Kaulah integral belaahn jiwaku
Kaulah kodomain dari fungsi hatiku
Kemana harus kucari modulus vektor hatimu
Dengan besaran apakah harus kunyatakan cintaku?
Kulihat variabel dimatamu
Matamu bagaikan elipsoid
Hidungmu bagaikan asimptot-asimptot hiperbola
Kulihat grafik cosinus dimulutmu
Modus ponen………Modus tollens………
Entah dengan modus apa kusingkap logika dihatimu………
Beribu-ribu matriks ordo 2×2 telah kutempuh
Bagaimana kuungkap adjoinku padamu
Kujalani tiap barisan geometri yang tak hingga jumlahnya pula……
Tiap barisan aritmatika yang tak terhitung banyaknya…….
Akhirnya sampai limit yang tak terhingga batasnya
Belum juga kutemui transformasi hatimu

»»  READMORE...

Selasa, 18 Oktober 2011

Taukah Kamu Berapa Sebenarnya Nilai "pi"?

\pi adalah salah satu contoh bilangan transcendantal, sering sekali kita jumpai dengan nilai \pi = 3,14.
Namun taukah kamu berapa sebenarnya nilai  \pi tersebut???


Kita tidak akan pernah bisa mengetahuinya secara pasti. Berikut saya berikan salah satu hasil perhitungan pi sampai dengan 500 digit angka di belakang koma.

Pi 500 Digit (Med)

Perhatikan bahwa tidak ada pola pengulangan angka yang teratur pada nilai pi di atas.
Tapi, apakah nilai pi 500 digit di atas adalah nilai sesungguhnya????
Tidak !!! Nilai pi yang sesunggunya masih akan terus panjang hingga jumlah digit yang tak terhingga. Satu juta digit?? Satu miliar digit ??? Satu triliun digit???? Tidak, masih kurang…
Nilai pi yang sebenarnya memiliki digit yang tidak terhingga dan tidak memiliki pola pengulangan. Sampai dengan tahun 2007, superkomputer penghitung pi “baru” bisa menentukan nilainya sampai 1 triliun angka di belakang koma.
Untuk apa sich pi? Apakah dia memiliki nilai praktis???
Tentu. Misalnya untuk menghitung luas dan keliling lingkaran. Menentukan luas dan volume bola serta silinder, dan sebagainya. Kalibrasi speedometer motor atau mobil anda (Speedometer ada kaitannya dengan putaran dan keliling roda kendaraan anda). Dalam dunia tehnik dan konstruksi yang saya geluti, pi banyak sekali manfaatnya.
Tapi, tunggu dulu…Untuk apa memperkirakan pi sampai berpanjang-panjang hingga bermiliar-miliar angka di belakang koma????
Well… Semata-mata untuk sains!!! Karena, kalau hanya untuk keperluan praktis saja:
  • Nilai pi hingga 11 angka di belakang koma saja sudah bisa digunakan untuk menghitung keliling bumi hingga tingkat ketelitian milimeter.
  • Nilai pi hingga 39 angka di belakang koma sudah bisa digunakan untuk menghitung setiap keliling alam semesta hingga ketelitian atom hidrogen. (Note: Radius alam semesta diperkirakan sekitar 46.5 miliar tahun cahaya. Radius Hidrogen = 0.00000005 milimeter).
Untuk keperluan praktis sehari-hari, sebenarnya nilai pi sampai dengan dua angka di belakang koma saja sudah cukup (yaitu 3,14). Kalau mau lebih teliti, yah boleh lah menggunakan nilai pi hingga empat digit, tujuh digit, sembilan digit, atau sebelas digit di belakang koma….
Nilai pi dengan ketelitian lebih dari itu sepertinya tidak banyak memiliki nilai praktis.
»»  READMORE...

Adakah Bilangan Terbesar di Jagat Raya ini???

Pernahkah anda berfikir tentang nama angka yang paling besar yang mungkin ada di dunia ini???
1 kita sebut satu
10 kita sebut sepuluh
1.000 kita sebut seribu
1.000.000 kita sebut sejuta
1.000.000.000 kita sebut semilyar
1.000.000.000.000 kita sebut setrilyun
Adakah angka yang lebih besar dari itu yang hanya terdiri dari satu kata????
Seribu triliun? Sejuta triliun? Itu bukan satu kata !!
Sejuta triliun terdiri dari dua kata, yaitu Sejuta dan triliun..
Adakah angka terbesar yang hanya terdiri dari satu kata??
Jawabnya: Ada.
Namanya adalah Googol.

Satu diikuti dengan 100 buah angka nol.
Secara eksplisit, Ini dia penulisannya:
1 Googol

=

10.000.000.000.000.000.000. 000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

000.000.000.000.000.000.000.000.000
Adakah nama angka yang lebih besar lagi?
Ada, yaitu Googolplex

Yaitu angka 1 diikuti angka nol sebanyak 1 googol buah.
1 diikuti angka nol sebanyak 10100 buah.
Bisakah kita menuliskan angka satu googolplex secara lengkap di atas kertas?????
Absolutely Not !!!

Kenapa??????
Karena untuk menulis kita menggunakan tinta atau bit data (bila menuliskannya di komputer).  Dan tinta maupun bit data itu sendiri terdiri dari partikel-partikel elementer, misalnya proton, elektron, neutron, neutrino, foton, quark, dan semacamnya.
Bayangkanlah kita bisa menulis dengan amat efisien sehingga satu nol bisa dituliskan dengan cukup satu partikel elementer saja. (Katakanlah satu buah foton saja). Sebenarnya ini amat sangat mustahil. Tapi mari berandai-andai saja… Berarti kita akan membutuhkan sebanyak 1010100 buah partikel.
Berapakah jumlah seluruh partikel elementer yang tersedia di seluruh jagad raya ini??? Jumlahnya hanyalah sekitar 1083 buah. Beberapa sumber menyebutkan nilai yang bervariasi antara 1072 hingga 1087. Salah satu perhitungan menunjukkan angka 1089.  Kita gunakan nilai di antaranya saja yang digunakan oleh Carl Sagan dalam Bukunya Cosmos, yaitu sebanyak 1083 buah partikel.

Andaikan seluruh proton, neutron, elektron, positron, neutrino, quark, dan seluruh partikel sub-atomik lainnya di SELURUH ALAM SEMESTA ini menjadi angka nol, Anda tetap tidak akan bisa menuliskan satu googolplex secara eksplisit.
Anda hanya bisa maksimum menuliskan secara eksplisit angka 101083

Angka ini masih jauh lebih kecil dibandingkan satu googolplex.

Dibutuhkan sebanyak 1017 alam semesta seukuran alam semesta kita untuk bisa menuliskan 1 googolplex secara eksplisit. Andaikan alam semesta kita ini dikecilkan menjadi seukuran bola sepak berdiameter 20 cm, maka alam semesta yang dibutuhkan untuk bisa menulisan 1 googolplex kira-kira akan berdiameter 92 km!! Bisakah Anda membayangkan satu buah bola sepak dibandingkan dengan bola raksasa berdiameter 92 km??
Kalau sulit membayangkannya, saya berikan perbandingan lainnya. Bayangkan alam semesta kita dikecilkan hingga seukuran kelereng berdiameter 2 cm. Berapa banyak alam semesta yang diperlukan untuk bisa menuliskan 1 googolplex secara eksplisit?? Dengan perbandingan kelereng ini, kira-kira dibutuhkan kelereng demikian banyak sehingga memenuhi sebuah kolam renang raksasa dengan berbentuk kubus yang sisi-sisinya berukuran 8.2 km (panjang x lebar x kedalaman = 8.2 x 8.2 x 8.2 km).
Belum terbayang?? Kecilkan alam semesta kita menjadi seukuran kerikil berdiameter 2 mm. Maka kolam renang raksasa kita akan berukuran 820 m x 820 m x 820 m….
Atau kecilkan lagi alam semesta kita hingga seukuran debu berdiameter 0.2 mm. Maka kolam renang kita masih akan berukuran 82 m x 82 m x 82 m.
Perbandingan yg luar biasa bukan???

Kesimpulannya:

  1. Seluruh alam semesta tidak bisa digunakan utk menuliskan angka satu googolplex secara explisit !!!
  2. Dibutuhkan sebanyak 1017 buah alam semesta yang identik dengan alam semesta kita untuk menuliskan 1 googolplex secara explisit.
»»  READMORE...

Senin, 26 September 2011

Kenapa Nilai Mutlak Selalu Positif???

Tadi pagi waktu masuk kuliah Mata Kuliah Analisis Real II, mahasiswa matematika masih kebingungan buat menjawab pertanyaan dosen. Kenapa nilai mutlak selalu bernilai positif???? Semua pada diam, antara bingung, tidak tau atau lupa yaaaaa? Sebenarnya konsep nilai mutlak itu sederhana sekali bahkan sudah berkali-kali disinggung pada kalkulus I..... Lupa kali yaaaaaaaa:)

Oke kalau ada pertanyaan yang sama lagi jangan susah-susah buat jawabnya kita kembali lagi ke hakim utama dalam matematika yaitu DEFINISI. " Definisi tidak perlu dibuktikan lagi yaaaaaa, yang perlu dibuktikan itu teorema".

Kenapa nilai mutlak selalu positif???
Jawabannya:
Menurut definisi nilai mutlak adalah Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Nilai mutlak dibangun dari konsep jarak yaitu tidak ada suatu jarak yang benilai negatif.

Jawaban dan konsepnya sangat mudah bukan, hal yang seperti ini jangan cepat dilupainnnnnn kalau tidak ingan definisinya ingat saja konsepnya itu akan membantu kamu mengingat kembali definisinya.
»»  READMORE...

Limit dan Fungsi Kontinu

Haiiiiiii haiiiiiii sudah lama tidak posting tulisan jadi rindu juga, kesibukan kuliah yang mulai padat menyita waktu dan tenaga. Hmmmmm mumpung ada waktu luang sedikit saya coba buat menghilangkan rasa rindu saya untuk berbagi......

Pada kesempatan ini saya akan menggangkat sedikin masalah Limit dalam matematika, pada pembahasan limit ini kadang-kadang di anggap susah-susah gampang juga. Banyak teknik-teknik dasar yang harus dipahamai dalam menyeselaikan soal-soal limit. Materi limit sebenarnya bukan hal baru lagi buat kita tetapi ketertarikan saya terhadap limit membuat saya menggangkat materi ini umtuk posting hari ini. Untuk mendownload materinya klik disini. Selamat membaca!!!
»»  READMORE...

Sabtu, 18 Juni 2011

Aritmatika Sosial

Kangennnnn lama banget rasanya ga posting materi-materi matematika, hmmmm kali ini ada yang baru dalam bahan ajar..... chek this out!!!

Dalam kehidupan sosial kita sering menemukan banyak permasalahan, eehhhmmmm terutama dalam proses jual beli. Pada zaman dulu orang melakukan jual beli atau pertukaran dengan barang yang sering disebut dengan barter. Namun sesuai dengan perubahan jaman maka proses jual beli lebih mudah dilakukan. Untuk menghitung rugi maupun untung dalam perdagangan sudah menjadi kewajiban untuk para pedagang. Dalam matematika materi yang memuat proses perhitungan yang mengenai untung dan rugi disebut Aritmatika Sosial. Untuk posting hari ini kita akan bahas tentang Aritmatika Sosial. 

Dalam perkembangan teknologi proses belajar mengajar menjadi akan lebih mudah ditangan yang terampil memadukan teknologi dan materi yang akan dibahas ( kebayang ga sch bila kita menjadi murid yang kerjaan na cuma bengong dengerin guru ngoceh,he ). Matematika memilik daya tariknya sendiri termasuk materi-materi yang kadang membingungkan anak didik, hhmmmmm kali ini saya telah membuat sedikit bahan untuk pembelajaran yang dapat digunakan untuk mempermudah proses pembelajaran agar tetap menarik bagi para anak didik, materi Aritmatika Sosial ini telah dilengkapi dengan materi-materi dengan singkat dan disertai contoh-contoh soal yang mempermudah pemahaman anak didik. Untuk unduh bahan ajar klik disini. Mudahan bermanfaat
»»  READMORE...

Sabtu, 09 April 2011

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

hmmmmm udah lama banget rasanya ga update informasi.

Kali ini kita akan membahas salah satu materi matematika yang sering kita temui di SMP dan SMA yaitu Persamaan dan Pertidaksamaan linear. Materi ini sering dianggap mudah untuk sebagian siswa dan guru. Yupppp.... materi ini memang asyik untuk di otak-atik. Kali ini saya memberikan bahan ajar yang sudah dikemas rapi dan mudah dipahami dalam menyampaikan meteri ini untuk anak didik. Untuk mengunduh bahan ajar klik disini....
»»  READMORE...

Kamis, 10 Maret 2011

Pola dan Barisan Bilangan

Jika kita menyusan 10 batu bata pada baris yang bawah, tepat di atasnya terdapat 14 batu bata demikian selanjutnya akan bartambah 4 batu bata tiap barisnya. Berapa batu bata yang kita perlukan untuk  membuat tembok setinggi 10 baris batu bata itu???? Kita sering mengalami masalah ini dalam kehidupan sehari-hari. Dalam matematika ada materi khusus yang digunakan untuk menyelesaikan masalah di atas yaitu Barisan Bilangan.....

Materi kali ini akan membahas tentang Pola dan Barisan bilangan yang telah dipersiapkan dan dikemas menarik untuk dipelajari atau digunakan untuk persentasi.... Untuuk mempelajari lebih lanjut klik di
»»  READMORE...

Selasa, 08 Maret 2011

Konsep Perkalian Pada Pecahan

Untuk teman-teman yang mengalami kesulitan dalam menjelaskan konsep perkalian pada pecahan, saya coba bantu menyelesaikan masalah anda. Perkalian pada pecahan memang mudah di pahami apalagi untuk kita yang tinggkat tinggi namun untuk adik-adik kita yang duduk di bangku SD, akan mengalami kesulitan untuk memahami konsep itu. Agar mudah dipahami kita harus mempunyai cara untuk menjelaskannya secara ringkas dan padat agar mudah dimengerti. Untuk materinya klik di
»»  READMORE...

Learning Methods ( Metode Pembelajaran)

The method is a means used by teachers in implementing classroom teaching and learning activities in an effort to achieve the learning objectives have been set.
Lecture method.In the lecture method of teaching-learning process carried out by teachers are generally dominated by lecture.
In Learning Elementary Education Technology (ICT), there are some motode commonly used, including:
a. Method FAQ
Question and answer method is a way to manage learning by aimlessly questions that lead students to understand the material. FAQs method will become effective when the material becomes topic interesting, challenging and has a high application value. Posed the question to vary, including closed questions (questions that the answer is only one possibility) and open-ended questions (questions with many possible answers), and presented in interesting ways.
b. Discussion Method
Discussion method is a way to manage learning by presenting material through problem solving, or systems analysis technology products that solve very open. A discussion is considered to support the activity of students when the discussion involves all members of the discussions and produce a solution to the problem.
If this method is managed well, the enthusiasm of students to engage in this forum is very high. Tata way is as follows: there must be a discussion leader, a topic that the subject should be clear and interesting discussion, participants can receive and give, and the atmosphere of discussion without pressure.
c. Giving Methods Task
The method of assignment is a way of teaching or presenting the material through the assignment of students to do a job. Giving the task to an individual or group. Giving the task for each student or group can be the same and may also differ.
For administration duties to support the success of the learning process, then: 1) the task must be done by students or groups of students, 2) the outcome of this activity can be followed up with presentations by students from one group and responded to by students from other groups or by teachers who concerned, and 3) at the end of any conclusions.
d. Experimental Method
Experimental method is a way of managing learning in which students conduct experiments with the activity experience and prove himself a learned. In this method, students are given the opportunity to experience their own or do it yourself by following a process, observing an object, analyze, prove, and draw your own conclusions about the object to be studied. In the ICT, many experiments done on learning approach to product systems analysis techniques or materials.
Experiments can be done through individual or group activities. This depends on the purpose and meaning of the experiment or the number of tools available. This experiment can be done with the demonstration, when the tool is available only one or two devices only.
e. Demonstration Method
Demonstration method is learning by demonstrating how the management or demonstrate to the students of a process, situation, object, or the workings of a product technology that is being studied. Demonstrations can be done by showing both the actual objects, models, as well as replica and is accompanied by oral explanation.
Demonstrations will become active if done well by teachers and subsequently performed by students. This method can be limited to activities that tool but will be constantly and repeatedly by the students.
f. Method Tutorial / Guide
Tutorial method is a process of managing learning through the process of guidance provided / performed by teachers to students either as individuals or small groups of students. Besides other methods, in learning Technology Education Association, this method is widely used, especially when students are already involved in group work.
The role of teacher as a facilitator, moderator, motivator and mentor is needed by students to accompany them to discuss and complete tasks
Implementation of the tutorial method can be performed as the following example:
- Consider a class in teaching materials workmanship Wood 2, at the first lesson is used in a classical form of activity to explain in general about the theory and principles.
- Then the students divided into four groups to discuss different subjects, then performed the rotation between groups.
- While the students learn and do the tasks, teachers around among the students, hearing, explained the theory, and guide them to solve his problem.
- With the help of teachers, students acquire the habit of how to find information you need, taught himself and his own thinking.
Attention may be given more intensive teacher to students who are operating equipment that has not been commonly used.



 Metode adalah cara yang digunakan oleh guru dalam melaksanakan kegiatan belajar mengajar di kelas sebagai upaya untuk mencapai tujuan pembelajaran yang telah ditetapkan.
Metode ceramah.
Dalam metode ceramah proses belajar mengajar yang dilaksanakan oleh guru umumnya didominasi dengan cara ceramah.
Dalam pembelajaran Pendidikan Teknologi Dasar (TIK), ada beberapa motode yang umum digunakan, diantaranya adalah :
a. Metode Tanya jawab
Metode tanya jawab adalah suatu cara mengelola pembelajaran dengan mengahasilkan pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan siswa memahami materi tersebut. Metoda Tanya Jawab akan menjadi efektif bila materi yang menjadi topik bahasan menarik, menantang dan memiliki nilai aplikasi tinggi. Pertanyaaan yang diajukan bervariasi, meliputi pertanyaan tertutup (pertanyaan yang jawabannya hanya satu kemungkinan) dan pertanyaan terbuka (pertanyaan dengan banyak kemungkinan jawaban), serta disajikan dengan cara yang menarik.
b. Metode Diskusi
Metode diskusi adalah suatu cara mengelola pembelajaran dengan penyajian materi melalui pemecahan masalah, atau analisis sistem produk teknologi yang pemecahannya sangat terbuka. Suatu diskusi dinilai menunjang keaktifan siswa bila diskusi itu melibatkan semua anggota diskusi dan menghasilkan suatu pemecahan masalah.
Jika metoda ini dikelola dengan baik, antusiasme siswa untuk terlibat dalam forum ini sangat tinggi. Tata caranya adalah sebagai berikut: harus ada pimpinan diskusi, topik yang menjadi bahan diskusi harus jelas dan menarik, peserta diskusi dapat menerima dan memberi, dan suasana diskusi tanpa tekanan.
c. Metode Pemberian Tugas
Metode pemberian tugas adalah cara mengajar atau penyajian materi melalui penugasan siswa untuk melakukan suatu pekerjaan. Pemberian tugas dapat secara individual atau kelompok. Pemberian tugas untuk setiap siswa atau kelompok dapat sama dan dapat pula berbeda.
Agar pemberian tugas dapat menunjang keberhasilan proses pembelajaran, maka: 1) tugas harus bisa dikerjakan oleh siswa atau kelompok siswa, 2) hasil dari kegiatan ini dapat ditindaklanjuti dengan presentasi oleh siswa dari satu kelompok dan ditanggapi oleh siswa dari kelompok yang lain atau oleh guru yang bersangkutan, serta 3) di akhir kegiatan ada kesimpulan yang didapat.
d. Metode Eksperimen
Metode eksperimen adalah suatu cara pengelolaan pembelajaran di mana siswa melakukan aktivitas percobaan dengan mengalami dan membuktikan sendiri suatu yang dipelajarinya. Dalam metode ini siswa diberi kesempatan untuk mengalami sendiri atau melakukan sendiri dengan mengikuti suatu proses, mengamati suatu obyek, menganalisis, membuktikan dan menarik kesimpulan sendiri tentang obyek yang dipelajarinya. Di dalam TIK, percobaan banyak dilakukan pada pendekatan pembelajaran analisis sistem terhadap produk teknik atau bahan.
Percobaan dapat dilakukan melalui kegiatan individual atau kelompok. Hal ini tergantung dari tujuan dan makna percobaan atau jumlah alat yang tersedia. Percobaan ini dapat dilakukan dengan demonstrasi, bila alat yang tersedia hanya satu atau dua perangkat saja.
e. Metode Demonstrasi
Metode demonstrasi adalah cara pengelolaan pembelajaran dengan memperagakan atau mempertunjukkan kepada siswa suatu proses, situasi, benda, atau cara kerja suatu produk teknologi yang sedang dipelajari. Demontrasi dapat dilakukan dengan menunjukkan benda baik yang sebenarnya, model, maupun tiruannya dan disertai dengan penjelasan lisan.
Demonstrasi akan menjadi aktif jika dilakukan dengan baik oleh guru dan selanjutnya dilakukan oleh siswa. Metoda ini dapat dilakukan untuk kegiatan yang alatnya terbatas tetapi akan dilakukan terus-menerus dan berulang-ulang oleh siswa.
f. Metode Tutorial/Bimbingan
Metode tutorial adalah suatu proses pengelolaan pembelajaran yang dilakukan melalui proses bimbingan yang diberikan/dilakukan oleh guru kepada siswa baik secara perorangan atau kelompok kecil siswa. Disamping metoda yang lain, dalam pembelajaran Pendidikan Teknologi Dasar, metoda ini banyak sekali digunakan, khususnya pada saat siswa sudah terlibat dalam kerja kelompok.
Peran guru sebagi fasilitator, moderator, motivator dan pembimbing sangat dibutuhkan oleh siswa untuk mendampingi mereka membahas dan menyelesaikan tugas-tugasnya
Penyelenggaraan metoda tutorial dapat dilakukan seperti contoh berikut ini:
- Misalkan sebuah kelas dalam bahan ajar Pengerjaan Kayu 2, jam pelajaran pertama digunakan dalam bentuk kegiatan klasikal untuk menjelaskan secara umum tentang teori dan prinsip.
- Kemudian para siswa dibagi menjadi empat kelompok untuk membahas pokok bahasan yang berbeda, selanjutnya dilakukan rotasi antar kelompok.
- Sementara para siswa mempelajari maupun mengerjakan tugas-tugas, guru berkeliling diantara para siswa, mendengar, menjelaskan teori, dan membimbing mereka untuk memecahkan problemanya.
- Dengan bantuan guru, para siswa memperoleh kebiasaan tentang bagaimana mencari informasi yang diperlukan, belajar sendiri dan berfikir sendiri.
Perhatian guru dapat diberikan lebih intensif kepada siswa yang sedang mengoperasikan alat-alat yang belum biasa digunakan.
»»  READMORE...

Jumat, 25 Februari 2011

Operasi Biner

operasi biner



Sebenernya saya sudah pernah membuat tulisan mengenai operasi biner tapi kali ini saya ingi membahas operasi biner secara lebih mendalam. Kalau saya analogikan operasi biner adalah sebuah “mesin” yang memepunyai dua buah input dari elemen2 di suatu himpunan tak kosong S dengan output satu elemen di S juga. Jika “mesin” tersebut hanya mempunyai satu input dan satu ouput maka dikatakan operasi unary

Diberikan S adalah suatu himpunan tak kosong, himpunan S×S adalah himpunan yang memuat semua pasangan (a,b) dengan a,b\in S. Suatu operasi biner \star pada S sebenarnya merupakan fungsi dari S×S ke S. Dinotasikan image (daerah hasil) pasangan (a,b) dengan a\star b. Dengan kata lain operasi biner \star memetakan dua buah elemen a dan b di S ke suatu elemen a\star b di S pula.Opersi biner sering dikatakan tertutup untuk menegaskan bahwa a\star b termuat di S, bukan di himpunan di luar S. Banyak simbol yang digunakan untuk operasi biner, yang umum digunakan adalah +,-,\times,\div,\cap,\cup,\wedge dan \vee.

Diberikan P=\left\{ 1,2,3\ldots\right\} himpunan bulat positif. Penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner di P karena untuk sebarang x,y\in P berlaku x+y\in P dan x\times y\in P. Tetapi pengurangan bukan operasi biner di P karena 8-10\notin P. Contoh operasi biner yang lain di P adalah perpangkatan dan FPB.

Penjumlahan, perkalian, pengurangan kesemuanya merupakan operasi biner di himpunan bilangan real \mathbb{R} karena a+b, a×b, x-y merupakan bilangan real untuk setiap pasang a dan b bilangan real. Pembagian bukan merupakan operasi biner di \mathbb{R} karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Tetapi pembagian merupakan operasi biner di \mathbb{R}-\left\{ 0\right\} himpunan bilangan real tak nol.
Operasi Biner pada himpunan berhingga umunya disajikan melalui tabel. Sebagai contoh diberikan himpunan T=\left\{ a,b,c\right\} yang memuat 3 elemen. Operasi biner \star pada T didefiniskan berdasarkan tabel 1.1 berikut

tabel operasi 
Tabel tersebut dibaca baris dioperasikan kolom, contoh b\star c=b, c\star b=a. Nah sekarang pertanyannya bagaimana mendefinisikan tabel di atas? Itu sich terserah yang buat tabel :)
Suatu operasi biner \star pada himpunan S dikatakan
  • asositif jika berlaku a\star\left(b\star c\right)=\left(a\star b\right)\star c untuk semua a,b,c\in S
  • Komutatif jika berlaku a\star b=b\star a untuk semua a,b\in S
Suatu elemen e\in S dikatakan identitas jika berlaku a\star e=e\star a=a untuk semua a\in S .
Diberikan operasi biner \star pada himpunan S yang mempunyai identitas e, elemen b dikatakan invers dari a jika berlaku a\star b=b\star a=e dengan a,b\in S. Pada umunya invers a dinotasikan
a^{-1}, sedangkan pada operasi penjumlahan invers dinotasikan -a.
Diberikan2 operasi biner \star dan \circ pada himpunan S. Operasi \circ dikatakan distributif atas \star jika berlaku a\circ\left(b\star c\right)=\left(a\circ b\right)\star\left(a\circ c\right) dan \left(b\star c\right)\circ a=\left(b\circ a\right)\star\left(c\circ a\right) untuk semua a,b,c\in S

Penjumlahan dan perkalian keduanya merupakan operasi asosiatif dan komutatif pada himpunan bilangan real \mathbb{R}. Identitas penjumlahan adalah 0 dan identitas perkalian adalah 1. Setiap bilangan real mempunyai invers atas penjumlahan sedangkan setiap bilangan real tak nol mempunyai invers atas perkalian. Selain itu perkalian bersifat distributif atas penjumlahan karena berlaku a\times\left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right) dan \left(b+c\right)\times a=\left(b\times a\right)+\left(c\times a\right). Tetapi penjumlahan tidaklah bersifat distributif atas perkalian karena a+\left(b\times c\right)\neq\left(a+b\right)\times\left(c+a\right) tidak berlaku secara umum.

»»  READMORE...