eBetinalphabets: Februari 2011

Sebenernya saya sudah pernah membuat tulisan mengenai operasi biner tapi kali ini saya ingi membahas operasi biner secara lebih mendalam. Kalau saya analogikan operasi biner adalah sebuah “mesin” yang memepunyai dua buah input dari elemen2 di suatu himpunan tak kosong S dengan output satu elemen di S juga. Jika “mesin” tersebut hanya mempunyai satu input dan satu ouput maka dikatakan operasi unary

Diberikan S adalah suatu himpunan tak kosong, himpunan S×S adalah himpunan yang memuat semua pasangan (a,b) dengan $a,b\in S$ . Suatu operasi biner $\star$ pada S sebenarnya merupakan fungsi dari S×S ke S. Dinotasikan image (daerah hasil) pasangan (a,b) dengan $a\star b$ . Dengan kata lain operasi biner $\star$ memetakan dua buah elemen a dan b di S ke suatu elemen $a\star b$ di S pula.Opersi biner sering dikatakan tertutup untuk menegaskan bahwa $a\star b$ termuat di S, bukan di himpunan di luar S. Banyak simbol yang digunakan untuk operasi biner, yang umum digunakan adalah $+,-,\times,\div,\cap,\cup,\wedge$ dan $\vee$ .

Diberikan $P=\left\{ 1,2,3\ldots\right\}$ himpunan bulat positif. Penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner di $P$ karena untuk sebarang $x,y\in P$ berlaku $x+y\in P$ dan $x\times y\in P$ . Tetapi pengurangan bukan operasi biner di $P$ karena $8-10\notin P$ . Contoh operasi biner yang lain di $P$ adalah perpangkatan dan FPB.

Penjumlahan, perkalian, pengurangan kesemuanya merupakan operasi biner di himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ karena a+b, a×b, x-y merupakan bilangan real untuk setiap pasang a dan b bilangan real. Pembagian bukan merupakan operasi biner di $\mathbb{R}$ karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Tetapi pembagian merupakan operasi biner di $\mathbb{R}-\left\{ 0\right\}$ himpunan bilangan real tak nol.

Operasi Biner pada himpunan berhingga umunya disajikan melalui tabel. Sebagai contoh diberikan himpunan $T=\left\{ a,b,c\right\}$ yang memuat 3 elemen. Operasi biner $\star$ pada T didefiniskan berdasarkan tabel 1.1 berikut

Tabel tersebut dibaca baris dioperasikan kolom, contoh $b\star c=b$ , $c\star b=a$ . Nah sekarang pertanyannya bagaimana mendefinisikan tabel di atas? Itu sich terserah yang buat tabel

Suatu operasi biner $\star$ pada himpunan S dikatakan

asositif jika berlaku $a\star\left(b\star c\right)=\left(a\star b\right)\star c$ untuk semua $a,b,c\in S$

Komutatif jika berlaku $a\star b=b\star a$ untuk semua $a,b\in S$

Suatu elemen $e\in S$ dikatakan identitas jika berlaku $a\star e=e\star a=a$ untuk semua $a\in S$ .

Diberikan operasi biner $\star$ pada himpunan S yang mempunyai identitas $e$ , elemen $b$ dikatakan invers dari $a$ jika berlaku $a\star b=b\star a=e$ dengan $a,b\in S$ . Pada umunya invers $a$ dinotasikan

$a^{-1}$ , sedangkan pada operasi penjumlahan invers dinotasikan $-a$ .

Diberikan2 operasi biner $\star$ dan $\circ$ pada himpunan S. Operasi $\circ$ dikatakan distributif atas $\star$ jika berlaku $a\circ\left(b\star c\right)=\left(a\circ b\right)\star\left(a\circ c\right)$ dan $\left(b\star c\right)\circ a=\left(b\circ a\right)\star\left(c\circ a\right)$ untuk semua $a,b,c\in S$

Penjumlahan dan perkalian keduanya merupakan operasi asosiatif dan komutatif pada himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ . Identitas penjumlahan adalah 0 dan identitas perkalian adalah 1. Setiap bilangan real mempunyai invers atas penjumlahan sedangkan setiap bilangan real tak nol mempunyai invers atas perkalian. Selain itu perkalian bersifat distributif atas penjumlahan karena berlaku $a\times\left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right)$ dan $\left(b+c\right)\times a=\left(b\times a\right)+\left(c\times a\right)$ . Tetapi penjumlahan tidaklah bersifat distributif atas perkalian karena $a+\left(b\times c\right)\neq\left(a+b\right)\times\left(c+a\right)$ tidak berlaku secara umum.